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谈谈阿罗悖论与选举投票

最近来到了matters这个平台。不会被删评论这一点是极好的 。跟一些用户有了一些交流。回复与评论之间我也打了不少字。于是想整理一下投稿。

阿罗悖论的英文是Arrow's impossibility theorem。想要知道更多细节的可以去这个页面看看。在这篇文章里我先复述一下阿罗悖论的表述,然后在举一个比较生动的例子,为大家呈现一个阿罗悖论的应用。最后顺便嘲笑一下universal suffrage没什么好争取的。因为这个平台貌似打不了LaTeX,各位可以参考那个维基页面将就着看。假设大家都学过一点calculus和algebra(其实也就是熟悉一下数学符号和基本的概念而已),能流利阅读英文吧。看简体字有困难的也可以可以参考那个维基页面将就着看。我不太习惯繁体字的用词。

不懂数学的可以跳过直接看举例部分。

记所有结果的集合为A;N是投票人数;记A的任意排序为L(A)。这里对L(A)稍加解释。L(A)是A所有的的全序关系的集合(the set of all full linear orderings of A)。举例说明如下。设A={a,b,c}。如果L(A)是A的一个全序关系,那么对于A里的元素而言,满足以下条件:

  1. 如果a<=b且a>=b,那么a=b
  2. 如果a<=b且b<=c,那么a<=c
  3. 对a和b而言,必有a<=b或b<=a

这题阐述一下<=的意思。与3<=5中的<=不同,这里的a<=b表示的是比起a,同等喜欢b或更喜欢b。以上三个条件用文字表述来就是:

如果一场选举有以下三个候选人:a、b和c,记A={a,b,c}。一个投票人P的喜好L(A)满足以下三个条件:

  1. 如果比起a,P不讨厌b;而且比起b,P不讨厌a;那么P对a和b是同等喜欢的。
  2. 如果比起a,P不讨厌b;而且比起b,P不讨厌c;那么比起a,P不讨厌c。
  3. 对于两个候选人a和b,P至少比起a,不讨厌b或比起b,不讨厌a。

通俗来说,P就是在对候选人们进行排序。而这个排序,满足以上三个条件。以美国大选为例简单说明,假如说现在有三个人角逐总统宝座,Trump、Clinton和Sanders。如果Jacob喜欢Trump胜过Clinton、喜欢Clinton胜过Sanders,那么他一定喜欢Trump胜过Sanders。如果Jacob喜欢Clinton胜过Sanders,同时又喜欢Sanders胜过Clinton,那么他肯定同等喜欢Clinton和Sanders。对于Clinton和Sanders,Jacob一定会有个选择,他不能对两位毫无看法,不做区分,没有排序。

因为我们是在进行排序(ranking),我们就将A的某个全序关系记为R。对于N个投票人来说,每个人都有一个排序R,即R1、R2、...、RN。每一个R都是L(A)的一个元素(recall:L(A)是A所有的的全序关系的集合)。我们将这N个集合的笛卡尔积(Cartesian product)记为L(A)^N。L(A)^N里的元素(member, element, etc.)看起来是这样子的:(R1, R2, ..., RN)。

接下来,我们尝试定义一个从L(A)^N到L(A)的映射(mapping)F: L(A)^N -> L(A)。也即我们尝试着定义一个规则,将N个人的偏好总集起来,产生出一个社会偏好。明显地写出来就是F(R1, R2, ..., RN)=R,这么一个映射。其中R1, R2, ..., RN是N个人的偏好,R是社会偏好。以选举为例,Jacob的偏好是Trump>=Clinton>=Sanders;Regina的偏好是Trump>=Sanders>=Clinton; ...。我们尝试定义某种规则,产生一个社会偏好,比如Clinton>=Sanders>=Trump。

感谢你竟然有耐心读到这里。舞台搭建好后,下面就是对阿罗悖论的表述了。设a、b属于A;R和R1, R2, ..., RN属于L(A);(R1, R2, ..., RN)属于L(A)^N;F(R1, R2, ..., RN)=R。如果A中含有两个以上的元素,那么以下三个命题是不相容的:

  1. 如果对于所有的R1, R2, ..., RN,a都比b好(即排名比b高,a>=b),那么在R中a也比b好。
  2. 不存在这么一个人j:他的偏好Rj中a>b决定了R中a>b。
  3. 设(R1, R2, ..., RN)属于L(A)^N,(S1, S2, ..., SN)属于L(A)^N,F(R1, R2, ..., RN)=R,F(S1, S2, ..., SN)=S。对于所有的Rj和Sj,如果a和b有相同的排序,那么在R和S里,a和b也应该有相同的排序。

用文字表述出来就是:

  1. 如果所有的N个决策者都认为选择a优于b,那么在投票结果中,a也优于b。
  2. 不存在一个决策者i,使得投票结果总是等同于R的排序。

如果现在一些决策者改了主意(R1, R2, ..., RN) -> (S1, S2, ..., SN),但是在每个决策者的排序中(即所有的Rj和Sj中),a和b的相对位置不变,那么在投票结果(即R和S)中a和b的相对位置也不变。

Cheers! 到这里总算是把这个定理说完了。要是你喜欢一些不那么数学的表述,我在这里也提一些。比如:

  1. no voting method is fair, every ranked voting method is flawed
  2. the only voting method that isn't flawed is a dictatorship

接下来我举一个大家出去吃饭的例子,来说明以下阿罗悖论如何体现的。当然例子是非常多的,比如各种选举啦,大学排名啦。值得注意的是,有一种选举方法可以携带更多的信息(Cardinal voting)。如果是ordinal的,我给张三1分,给李四2分;跟张三1分,给李四222222222分是一样的。如果是cardinal的,我给张三1分,给李四2分;跟张三1分,给李四222222222分就是完全不一样的,因为我真的超超超超超级喜欢李四。阿罗悖论虽然没有涵盖Cardinal voting的情况,不过这种情况在现代社会还是很少见的。比如英国脱欧公投的时候,你只说要走要留,而不会说我超超超超超超超超超级想脱欧,给脱欧23333333333分。言归正传,说一下大家出去吃饭的事情。这个例子是南方科技大学数学系主人夏志宏说的。我在这里就把他的例子复读一遍。

有13名同学想出去吃饭。

学校附近有A四川菜、B广东菜、C日本菜。这里的ABC就是之前提到的集合A里的结果。举一个L(A)的例子,比如B>=C,C>=A,B>=A。为了方便起见我就把这记作B>=C>=A了,默认是transitive的了。意思就是我最喜欢粤菜,其次日料,再次川菜。那么我这个全序集合R满足以下条件:

  1. 我有B>=C这个关系,但是我没有C>=B这个关系,所以我的真爱其实是粤菜。
  2. 我爱粤菜胜过日料,我爱日料胜过川菜,那么我爱粤菜必然胜过川菜。
  3. 任意给我A四川菜、B广东菜、C日本菜中的两个,我肯定能说出我爱哪个。比如给我粤菜和川菜,我选择粤菜,我不会毫无看法,我要么喜欢粤菜,要么喜欢川菜,要么我全都喜欢(DD发言!)。

接下来同学们尝试找到一个方法,决定我们到底去吃什么好。这个方法起码要满足以下几个条件:

  1. 如果所有人都喜欢粤菜,那我们就去吃粤菜了。
  2. 不存在这么一个人:他想去吃粤菜我们就去吃粤菜,他想去吃日料我们就去吃日料。
  3. 如果有突然川菜馆倒闭了,那我们该吃粤菜还是吃粤菜,该吃日料还是吃日料,不会因为川菜馆倒闭了我们就不去吃粤菜而去吃日料。

这三个条件很合理吧?但是阿罗说这三个条件实际上是矛盾的,不可能同时成立。这么一个方法是不存在不存在不存在的!接下来我们看看13个人的吃饭之旅如何产生矛盾。至于如何在数学上证明不存在,我不打算在这篇文章里说。总之这是有数学基础的,不是说换了个领导人(主席、特首、总统、首相)就存在了。

先看看大家都想吃什么

  • 3人:A>B>C
  • 2人:A>C>B
  • 4人:B>C>A
  • 4人:C>B>A

太糟糕了,大家没有共识,得像个办法决定去哪家餐馆。投票吧,用Majority rule。大家都投票给最喜欢的那个餐馆。投票结果如下。

  • A四川菜:5票
  • B广东菜:4票
  • C日本菜:4票

No!!!!!!!!! 我们有7位同学无法接受川菜。他们决定...... 上街游行!焚烧垃圾桶,或者咬断那5位同学的手指。想吃川菜的同学被吓怕了,于是纷纷决定不吃川菜了。那5名吃川菜的同学就把自己的票投给了粤菜和日料。投票结果如下:

  • B广东菜:7票
  • C日本菜:6票

好,那我们去吃粤菜吧?No!!!!!!!!! 我们有将近一半的同学都想去吃日料。这时候有人发现,把票投给粤菜的那个同学,如果我们能够说服他投日本菜的话,那我们就能名正言顺地去吃日料了。于是他们找到那个同学,说给你¥100,投日本菜。想吃广东菜的同学发现想吃日本菜的同学的肮脏勾当,于是他们找到那个同学,说给你¥1000,用金钱坚持自我。发现没有,这位同学就是我们所说的独裁者!结果投日本菜的同学比较有钱,于是大家就去吃日料了。这是不是有点像官商勾结。地产商跟政府说,这块地皮本来是建公屋的,我们划一块建公屋的地出来,用来建邮轮码头、体育城、购物中心,创造GDP啊、增加税收啊。于是本来应该拿来建公屋的地上就多了一个邮轮码头。

OK,我们换个投票方式看看。我们先把讨厌人数最多的去掉。

  • 8人:A四川菜
  • 2人:B广东菜
  • 3人:C日本菜

What??? 之前大家都爱的川菜竟然第一个就被刷掉了!OK,还是majority rule,我们看看要是粤菜馆突然倒闭了会发生什么。

  • 3人:A>C
  • 2人:A>C
  • 4人:C>A
  • 4人:C>A

What??? 结果是日本菜!难道我们喜欢日料还是川菜,取决于粤菜馆今天有没开门?不对啊,我喜欢日料还是川菜,跟今天粤菜馆有什么关系呢?

所以你会发现,采用majority rule的投票是有问题的!好,我们想一个真正的好办法。

A THOUSAND YEARS LATTER... 得了,饭不用吃了,喝开水得了。我宁可喝民主的白开水也不吃一口你独裁的饭!真香!这清甜的白开水。

我们有一个简单!粗暴!完美!毫无内在矛盾的方法!独裁!

Arrow先生决定跟同学们一起吃饭。老师的意愿是B>C>A(广东菜、日本菜、四川菜)。同学们尊重Arrow先生(其实有些同学还是想吃辣的,想吃火锅),但既然老师喜欢粤菜,那没什么好说的了,直奔粤菜馆。白斩鸡挺好吃。

言归正传,既然投票如此不靠谱,为什么我们还乐此不疲?有时候那也是没办法,我们总得有个领导人吧?每件事都投个票,现在的科技做得到吗?就算做得到,大家都有空去了解你投的这一票意味着什么吗?拿英国脱欧公投来说,After Brexit Vote, Britain Asks Google: 'What Is The EU?'。在看看美国大选,说好了一人一票、人人平等,选出来的Trump却不是支持者人数最多的。

再比如,台湾地区2000年第一次领导人的选举,当时有三个候选人:陈水扁、宋楚瑜和连战。得票情况如下:

  • 陈水扁:39.3%
  • 宋楚瑜:36.8%
  • 连战:23.1%

其实如果两两对决,宋楚瑜和连战都能稳赢陈水扁。但因为台湾地区直接用了美国的选举制度,结果最不该当选的陈水扁获胜。我们知道美国大选方法很糟,您可能会问不如换成法国的。开始可能会好点,其实过了一段时间还是会变糟糕,人们会想办法利用体制的...

那么Cardinal voting的情况呢?比如我给连战100分、宋楚瑜70分、陈水扁50分。然后我再算算各个候选人得到的总分。这也有个问题,就是存在故意压低对手得分的情况。比如给我不喜欢的全都打0分,即使我没有真的那么讨厌他。还有就是这种投票方式比较少见。还有一个问题就是大家真的知道该给候选人打几分吗?用打分的方式呈现出的喜好是存在偏差的。比如我知道我爱粤菜胜过川菜,可我真的知道我爱粤菜胜过川菜多少倍多少分吗?

总之并不存在完美的投票方式。如果大家都有很大程度上的共识,那majority rule之类常用的投票方式还是有一定可信度的。但是当社会意见分歧很大的时候,这种方法就很糟糕了。比如英国公投的时候,England和Wales要脱欧, Northern Ireland和Scotland要留欧。比如美国大选的时候有很多人要Trump,有很多人要Clinton。这两场社会选择的结局,今天大家也都看到是个什么结果。英国拖到现在都还没脱欧。

什么?想要universal suffrage?TRUE FREE FAIR ELECTION?香港想当

最尊贵的威尼斯共和国 🐴

Most Serene Republic of Venice (English)

Serenissima Repubblica di Venezia (Italian)

Serenìsima Repùblica Vèneta (Venetian)

写这篇文章的时候我参考了很多维基百科的页面和各种新闻报道还有其他的一些文章。这不是我的原创文章。我还只是一名在读的本科生。希望各位能跟宽容上街的学生一样给予我一点点点点耐心。欢迎指出这篇文章的各种错误。希望没有劈头盖脸一顿臭骂。

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