数学本科、统计硕士、历史博士。怀疑论患者。公众号&豆瓣:窃书者。

那些被误会的笨小孩


读统计时,结识了一位哥大心理系博士,研究方向是幼儿的数感。我对这个课题既好奇又费解,数感要如何研究呢。她讲了一个具体的发现,至今让我记忆犹新。

“你知道吗,美国小孩在学习数学方面有天然的障碍。他们所面临的第一道门槛是计数。对,就是one、two、three这样。”看我不解的样子,她补充道:“记十以内的数字固然无妨,但关键在于eleven和twelve——一些孩子会困惑于这两个数字的不规则性:为什么不是ten-one, ten-two,就像twenty one,twenty two一样?”

这倒是,不论是和thirteen、fourteen,还是twenty one,twenty two相比,eleven和twelve这两个单词都太不规则了。当然我也明白,这实际上体现了英文中十二进制的残余。(由于12具有较多的约数,因此以12为进制单位,相比于10进制,会为古人在丈量土地、计算利息、分割财产等实际行为带来便利。这也是古代各民族多采用12进制、24进制、以及60进制的原因)然而自然语言中存在古代进制的残余,这完全由历史积淀所致,对小孩来说自然无从推理。

朋友继而说到:“对于这些孩子,除了暂时放下这个念头外别无他法。如果始终纠结于eleven和twelve这两个单词……”

“那会怎样?”

“那就一辈子与数学无缘了。”

我的心沉了下去,因为这些终身进不了数学大门的孩子,其实要比大部分小孩聪明。至少,他们对于形式逻辑更为敏感。只是因为其逻辑直观的敏感性,超越了其语言表述的能力以及对进制知识的积累。他们既不知如何向大人表述自己的困惑,也难以理解自然语言为何有这些不规则的残余。如果大人也不明白其中道理而将孩子视为愚笨的话,未免太可惜了——但据朋友观察,这却是常态。

如果说这个“eleven困境”还属于天灾,毕竟自然语言经年累月地演变,难免存在一些内在矛盾;那么第二个故事则更像是人祸。

去年认识一位读罗马史的本科生。英文很好,收费帮美国人改作文那种。听说我之前读数学,有点气馁地说自己数学不好,还问我要怎么跟理科女友解释读历史的用处。我起初一笑置之,后来隐隐觉得奇怪,因为他无论是玩桌游时的思路,还是行文的逻辑,都还算不错——怎么也不至于连美国的高中数学都学不懂吧。

后来有次在健身房,他又聊到了自己数学很差。我说估计是你没遇到好老师。或许受在我鼓舞之下,他鼓起勇气和我说他在初中时,关于数学最大的困惑就是负数,他明白负数加负数等于负数,但“为什么负负得正呢?我到现在还不明白。”

他刚说完,一同健身的一位机械系本科生先是错愕,然后以打量傻子的眼光和口吻嘲弄到:“我去,这么简单的负负得正你还不懂啊?!”

我心里想,本校机械专排虽高,学生的数学素养也不过如此啊。

这位历史本科生关于“负负得正”的困惑,恰好说明了他的逻辑直观并不差,甚至很不错:因为负负得正这个大部分人在初中甚至小学就司空见惯的概念,实际上远比看起来复杂得多。简单来说,所有我们中学学习的证明“负负得正”的方法,都是错的(即便印在教材里)。负负得正,本质上由人为定义而来,无法从正数的乘除法中严格证明出来(中学的伪证大都是循环论证)。在此我仅引用Felix Klein在《高观点下的初等数学》中的相关评述:

如果我们现在带着批判的眼光去看中学里负数的教法,常常可以发现一个错误,就是像老一代数学家如上指出的那样,努力去证明记号法则的逻辑必要性。它们从(a-b)×(c-d)的公式导出(-b)×(-d)=bd,以为就得到了证明,完全忽略了这个公式之所以成立取决于不等式a>b,c>d。因此,证明是虚假的,本来可以根据心理学的考虑通过承袭性的原则而得出法则,现在却让位于一种伪逻辑的考虑。学生第一次听到这样逻辑证明时,当然是听不懂的,而最终只好相信。

由此可知,不理解负负得正是在正常不过的了,毕竟其证明的本质是伪逻辑。反而,对“负负得正”提出质疑的学生其实具有极高的逻辑洞察力,甚至比困惑于eleven的美国孩童犹有过之,毕竟“负负得正”的谬误要比“eleven困境”更为抽象。Klein的结论是“学生听不懂,只好相信”,大部分学生确实如此。然而这位本科生,听不懂之后,宁可接受“自己数学很差”,也不说服自己认同这一证明,恰恰说明了他对于形式逻辑的严格性有很好的直觉,这正是数学天赋的体现。可惜他的问题在中学不仅被同学嘲弄,也被老师视为荒唐,最终畏数学如虎。

其实越是自小对“负负得正”的伪逻辑习以为常的成人,越难以察觉其中不严格的地方。换句话说,当一个孩子困惑于一个“很傻”的问题时,也许恰恰是因为他太聪明了,洞察到的矛盾既超出了自己语言表达的能力,又超出了教材与教师所预设的知识框架。这样的孩子或许并不算多,但每一个这样的个体,无疑都是非常可惜的。

当然,要求中学老师普遍具有高等数学的观点并不现实,也不够必要。不过,倘若老师具有这样的素养,无疑错过人才的几率会大为降低。这或许也从反面佐证了,苏联数学人才辈出的一大奥秘:苏联科学院每年组织数学院士到中小学夏令营,给学生传授“高视野”下的初等数学。

最近和朋友聊起上面两则故事。他说,其实世上没有那么多故事,都是钱的故事。我理解他的看法,钱可以买来好的师资与教育,很多困惑也就不复存在。从个人的角度,或许有人可以说“能用钱解决的问题都不是问题”;不过从社会的角度,“用钱解决的问题恰恰是最大的问题”——因为个人的财富可以跨越阶级地急剧增长,社会的总体财富却不会。

可以想见,这样的笨小孩们,以后还会存在。但笨小孩的名字,毕竟是大人取的。虽然不能苛求大人们具有上述的数学素养,不过倘若他们在面临孩子的困惑时,保持一份倾听的耐心,知道有些问题也许超出了自己的理解范畴、自己也未必具有评判愚笨的资质,那也就不负笔者行文的初衷了。

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