谢孟

数学本科、统计硕士、历史博士。怀疑论患者。公众号&豆瓣:窃书者。

伽利略的错误:比萨斜塔思维实验的逻辑漏洞

关于比萨斜塔实验,网上不少科普文指出这一实验并未真实发生,只是一个美妙的思维实验,但却罕少有人指出,这一思维实验存在严重的逻辑漏洞。

由于中学教材的缘故,伽利略的比萨斜塔实验可谓家喻户晓,每个人心中都有这么一个影影绰绰的印象:不畏强权的青年才俊伽利略,在比萨斜塔顶端扔下轻重不一的两个铁球。两个铁球同时落地的一声巨响,宣告了反动学术权威亚里士多德的灭亡。当然了,网上有许多关于这一实验的科普文,无不指出该实验纯属虚构,即便实行也无意义。如霍金所说:“据说,伽利略从比萨斜塔上将重物落下,从而证明了亚里士多德的信念是错的。这故事几乎不可能是真的,但是伽利略的确做了一些等同的事。”

霍金所谓 “等同的事”就是伽利略用来推导自由落体运动的三个实验。其中与传说中的比萨斜塔实验直接相关的,是伽利略用以反驳亚里士多德所采取的归谬法,本文称之为比萨斜塔思维实验。此归谬法凭借中学教材的渲染,远比另外两个斜坡实验更为有名。然而罕少有人指出,这一归谬法的结论在逻辑上存在漏洞,因此伽利略并不能严格推出其结论。至于伽利略最终发现的落体运动规律与真空中自由落体一致,则是一个美妙的巧合。这篇文章看似关乎物理,实则基于形式逻辑,将指出比萨斜塔思维实验为何是不严格的,可能导致那些错误,又为何阴差阳错地(借由斜坡思维实验)推导出了正确的物理规律。

关于落体速度的研究,西方素来信奉亚里士多德的看法,即下落速度与质量成正比。伽利略在《论两种新科学及其数学演化》(The Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences)一书中,巧妙地用归谬法证伪了亚里士多德的观点:

如果(亚里士多德)是对的,比如对于一个运动速度为8的大石头和一个速度为4的小石头,当二者被连起来时,系统(由于两个石头的互相拉扯)会以少于8的速度运动。但这两个连在一起的石头本身又形成了一个更大的石头,(小石头作为后者的一部分)将随着后者以超过 8的速度运动。因此较重的物体的移动速度反而比较轻的更慢——这与我们的假设相悖:我通过重物运动更快的假设,推导出了重物移动更慢的矛盾。……我们因此可以推断,重物与轻物在相同具体的重力作用下具有相同的移动速度。(We infer therefore that large and small bodies move with the same speed provided they are of the same specific gravity)

上述归谬法显然足以证明亚里士多德的错误。因而伽利略认为物体下落速度与质量无关,并借另外两个斜坡实验,进一步用外推法归纳出了自由落体运动的方程,其思想随后为牛顿发扬光大。那么问题在哪呢?

问题就在于虽然伽利略的归谬法确实可以证明亚里士多德的错误,但却不足以得出他的结论“在相同重力作用下,物体下落速度与质量无关 ”。

这句话看似无理取闹,既然伽利略已经证明了“重物速度更快”是错的,同理可证 “轻物速度更快 ”也是错的,这还不能说明“下落速度与质量无关”吗?

在回答这个无理取闹的问题之前,让我们再想一个更无理取闹的问题:“如果伽利略是对的,为什么现实中重物就是比轻物落地快一些呢?”

估计大家对这个问题更要嗤之以鼻了:“废话,因为现实中有空气阻力啊!”实际上霍金也是这么说的:“伽利略的测量指出,不管物体的重量是多少,其速度增加的速率是一样的 …… 当然,一个铅垂比一片羽毛下落得更快,那是因为空气对羽毛的阻力引起的……”

霍金当然不可能在这么基础的物理上犯错,但我们要谈的不是物理事实,而是推导物理事实的逻辑。上述归谬法不足以证明 “物体下落速度与质量无关”,现实世界就是最明显的反例——至于用“现实世界有空气阻力,所以才与伽利略的理论有偏差”来为这一归谬法辩护 ,这种辩护自身的逻辑也是错的。

让我们再回顾一下伽利略的四步归谬法:

1、先假设“重物比较快”

2、通过第一种思路(重物与轻物互相拉扯)得出重物与轻物绑在一起速度变慢

3、通过第二种思路(重物与轻物形成一个更重的物体)得出重物与轻物绑在一起速度变快

4、由2与3的矛盾得出速度与质量无关

之所以不能用 “空气阻力”来解释结论4与现实世界的差异,是因为伽利略的归谬法当中根本就没有给“空气阻力”这个概念预留位置。换言之,如果这一归谬法成立,那么不论在 “具有空气阻力 ”的现实世界,或“不具有空气阻力”的真空,都应当成立。二者只要有一不成立,这个证明必然是错的,无论其错误有多么不容易察觉。

上述证明可能听起来比较绕,因为我采用的也是从反面论证的归谬法。接下来从正面论证结论 4具体错在哪里。首先,让我们回忆一下亚里士多德的错误命题:物体下落速度与其质量成正比。伽利略看似用反证法得出了更一般的结论,实际上却犯了和亚里士多德一样的错误:伽利略假定速度与质量的关系,要么正比,要么反比,要么无关。二人都预设了下落速度与质量之间如果有所关联,也只存在线性关系。然而,既非反比,又非正比的数量关系当然是存在的。实际上现实中的落体运动本身就是如此。把落体中的空气阻力(与质量无关,与表面积、空气密度、以及速度平方成正比)纳入考虑,解一个运动力学微分方程可得出,物体落体时的速率与其质量的关系如下(m为质量):

考虑空气阻力的条件下落体速度与质量之关系

在上面这个函数中,速度(v)与质量(m)既非正比,也非反比,但绝非无关。我们固然不能苛责伽利略没能凭空想象出这么复杂的函数,不过也要为亚里士多德正名:拘于数学工具的限制,人们难免以线性关系去想象数量关系——伽利略在这一点上并不比亚里士多德高明。

这时候或许有人会说了,你既然把空气阻力都算进去了,就是“伪自由落体”,凭什么说伽利略关于“自由落体(即不含阻力)”的论证有漏洞?

这就是历史吊诡的地方了。历史由前人经验层累而来,有时传到后世面目全非,让后人犯了因果倒置的错误。实际上,严格物理意义上没有阻力的自由落体(free fall),是伽利略之后百年的牛顿力学中才定义的概念(生活中我们可以把高空坠下都叫自由落体,但这种语境下自由落体又包含了阻力)。无论是亚里士多德,还是伽利略,讨论“落体”(falling body)都不回避阻力。因为真空中的“自由落体”恰恰是在认识到“真空中落体速率与质量无关”这一规律后,才能够形成的概念。因此说 “伽利略反驳了亚里士多德关于自由落体的论断”,本身就是一种循环论证(亚里士多德如果知道严格的自由落体的概念,就不可能还说什么速度与质量成正比这种话)。所以本文前半部分,一直使用的是“落体”、“下落” 而非 “自由落体”。这可能也是这个问题好玩的地方,你以为是物理问题,其实是逻辑问题,甚至是语言与历史问题。

当然,硬核物理学的成分还是有的:既然伽利略上述归谬法的结论并不成立,为何却吻合了真空中落体的客观规律呢?正面回答这个问题需要更严密的力学推导。毕业于北大物理系的岳东晓博士在其博文中也注意到了伽利略这一归谬法的错误。不过与我纯粹基于形式逻辑的批驳不同,他从力学的角度推导“为何伽利略不严格的证明阴差阳错地吻合了真空中的规律”。其结论是,因为惯性质量“恰好”与引力质量相同,导致伽利略用错误的方式发现了正确的结论。(详见文末)

有人或许会说,惯性质量与引力质量并非恰好相等,其中蕴含深刻的物理意义。但不论蕴含怎样深刻的意义,伽利略显然对此不并了解。但他不严格的推论中,却内嵌了这一原理。这不得不说是一个美丽而幸运的巧合。

哲学上有一个奶牛悖论,讲的是某人要外出,请邻居代为照看奶牛。等他回来问邻居奶牛在吗,邻居说一直在树底下。农夫去看时,发现奶牛确实还在,但并不在树底下——是邻居误把树下斑驳的阴影当成了奶牛身上的斑点。奶牛悖论代指用错误的逻辑推导出了正确的结论,具有深刻的知识论意涵。比萨斜塔思维实验就是这么一个被误会的奶牛,伽利略从不严格的推论出发,恰好触及了正确的物理规律。

笔者还发现了两种质疑伽利略这一实验的声音,一是方舟子。他注意到伽利略的模型针对的是任意介质的落体,却只能解释真空中的情况。并从知识论的角度,指出伽利略的归谬法,并不能反驳亚里士多德。二是一位知乎er,他通过电磁学构造反例,来反驳伽利略的思维实验。(详见文末)

可惜的是,不论是方舟子还是这位知乎er,留言的都以批评与嘲讽者居多。这是因为中学教材本身就沿用了伽利略的错误思路。但这个错误确实极具迷惑性,除了对形式逻辑特别敏感,或者对运动力学有扎实功底的人,包括中学老师在内也很难察觉其中不自然之处 —— 这显然对中学生要求过高了。

我之前写了一篇用贝叶斯统计讨论上帝存在概率的《迷信中的理性》,自诩别出新意,后来发现这是90年代科学哲学所讨论的一个命题。自此之后,便收起了轻慢之心,不敢妄谈自己的一点管见便能超越相关领域的学者。写这篇文章时翻阅了相关哲学期刊,果然伽利略的这一思维实验也是哲学史的研究对象。在《伽利略落体思维实验的作用与局限:绝对重量、具体重量与介质阻力》(The function and limit of Galileo Falling Bodies Thought Experiment: Absolute Weight, Specific Weight, and Medium Resistance )一文中, Rawad EL SKAF便指出,这一思维实验之结论,实则是一个对于错误假设(真空介质)的错误推断(a fallacious inference to a falsehood)。不过SKAF指出伽利略的用意主要在于反驳亚里士多德,并且其关于自由落体的观点在三十年间也存在微妙的修正,这里涉及科学史的部分就不展开了。

总的来说,伽利略的归谬法足以证伪亚里士多德的观点,但他进一步从中断言“物体下落与质量无关”则是错的。这个缺乏严格论证的观点,却“恰好”符合了物理规律。依循这一不严格的前提,伽利略设计了天才的斜坡思维实验,并最终推导出了一般的自由落体运动方程。斜坡实验背后的实证精神才是伽利略比亚里士多德高明的地方,而非被传得神乎其技的落体思维实验。

其实本文与我之前的两篇文章有所关联。一是《万物皆可meta:谈谈人文学科的元思》,那是篇人文学科的“科普文”,这是篇关于物理的科普,万变不离其宗的是逻辑。我并没有像方舟子、岳博士或者那个知乎er从运动力学、电磁学、或者引力质量等物理知识本身入手,证伪这一思维实验,而纯粹基于形式逻辑的推导,这个意义上和我归纳“元思维”的那一篇思路并无二致。逻辑是打通文理门槛的必要工具。

二是去年写的《那些被错怪的笨小孩》。那是一篇关于中学数学教育的文章,其中提到中学关于“负负得正”的证明是伪逻辑,无形中坑了不少逻辑感严密的学生(他们想不通伪逻辑,甚至对数学失去信心)。比萨斜塔思维实验则是一个物理版的例子。小学教材中学习伽利略在比萨斜塔扔铁球的虚构故事,作为语文教学情有可原;但在中学教育中,却错误地认为通过伽利略这一归谬法足以证明“自由落体与质量无关”,误导了大量学生。必须承认,这种误读非常有迷惑性,在中外的物理教育中都存在,许多老师也难以察觉,大家都弄错,或许也没什么。但确实有一些比较敏感的学生察觉到其中的异样,却被误以为又问了蠢问题:

看得出上述两个提问者,本身的理解也有偏差(伽利略并没有做实体的斜塔实验,就算做了也没有严格的实验意义),但他们至少察觉了教材的叙述中存在逻辑不通的地方,如对于“空气阻力”的处理。显然,回答问题的人,完全没有理解问题本身。百度知道当然不算什么优质解答平台,但我想即便学生去问老师,也很难得到正确的答复 —— 毕竟教材就是错的。

我之所以对这一思维实验如此敏感,也与自己的经历有关。高中第一个学期讲自由落体时,物理老师在课间要求我们用小东西做落体实验。同桌物理不好,兴奋地问前排借来钢尺,准备用自己的软尺重演比萨斜塔的故事,我笑他幼稚。不一会,他扯着我疑惑地问:

“哎不对?怎么每次都不能同时落地啊?”

我不耐烦地说:“废话啊,重的肯定落得快啊。”

话音刚落,后排嘈杂的男生都石化了。

同桌小声地说:“啊?你……你说什么?不是应该一样快么?”

我至今对当时的尴尬记忆犹新。出丑尚在其次,主要是意识到自己只是一个无情的刷题机器,自以为学会了却根本没有内化课上老师讲的原理。

现在回过头看,也许是伽利略错了。当时的我意识到他的模型有些不一致的地方,但没有能力把它阐释清楚,不然也就不会有十多年后的这篇文章了。

写作的时候,我发现网上除了科普“伽利略本人没有在比萨斜塔做实验”以外,最多的就是所谓“引导中学生模仿伽利略这一精彩思维实验”的各种教案。这些教案无不言之凿凿地指出,伽利略完美地证明了“落体与质量无关”这一似是而非的结论,不知又要给多少中学生带来似懂非懂的困惑。在此我谨希望,这篇文章能给一些中学教育者以启发。不奢求让每个学生都理解这背后的复杂逻辑(不然可能引起更大的认知混乱),但对于较为敏感、自行捕捉到其中漏洞的学生(比如那个知乎er),希望老师们参考本文,解答这些学子的困惑。

 



最后依次附上方舟子、岳东晓、以及一位匿名知乎er从其他角度对于这一思维实验的反驳:

方舟子,科学史上著名公案——伽利略有没有做比萨斜塔实验 http://xysblogs.org/fangzhouzi/archives/5176
岳东晓,伽利略与亚里士多德之辩, http://www.zzwave.com/home.php?mod=space&uid=2&do=blog&id=33741
某知乎er,https://www.zhihu.com/question/40096566


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