Ubikium
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Cybernetics Anarchist

归纳推理

之前的文章中,我们介绍了一种重要的推理形式:演绎推理(deductive reasoning)。尤其强调了它的两个特点:永远正确,内容无关。这两点是紧密相关的。可以说正是因为演绎推理是内容无关的,所以它才会永远正确。本篇将介绍另一种推理形式:归纳推理(inductive reasoning)。作为对比,它并不永远正确,并且内容决定了其正确性。

在有效推理中,我们提到了,判断一个论题(argument)正确与否时,我们既可以采取演绎推理,也可以采取归纳推理。使用断言句可以完全涵盖演绎推理的论题,但有些归纳推理的论题无法转化为断言句。因此就会造成,有些可以使用归纳推理进行证明的论题,却无法由演绎推理得出。我们常常看到一些论题符合演绎推理中谬误的形式,但注意这并不意味着推理无效。它只说明了我们无法用演绎推理证明,但并不排除可以使用归纳推理说明。如果只了解演绎推理,学了一些谬误就到处套用,就会造成「谬谬误」。

比如「以偏概全」谬误,通常指根据个案推出一般性规律。

今天小明迟到了。
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明天小明会迟到。

这是否是一个有效推理?从演绎推理的角度来讲,当然不是。我们可以很容易举出一个反例,那就是小明明天不迟到。

那下面这个推理呢?

昨天小明迟到了。
今天小明迟到了。
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明天小明会迟到。

同样的反例可以说明,它仍然不是一个有效的演绎推理。我们完全可以想象出,即使前提中增加了有限甚至无限天,小明的迟到情况,只要没有提及明天的情况,就不是一个有效的演绎推理。而演绎推理是要么完全正确,要么完全错误。这些推理都是完全错误的,也就是说,它们的正确性完全一致。

但这是我们想要的结果吗?

从我出生至今,太阳都从东方升起。
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明天太阳会从东方升起。

大多数人都会同意,这一论题看起来比前面「更正确」。也就是说,我们希望能表达这些演绎推理中无效论题之间的区别。如果我们局限在演绎推理中,那么只能是要么完全正确,要么完全错误的二值区分。因此,我们对推理所做的这种扩展,必须能表达一种更细致的正确性。

如果将演绎推理中的假表示为数字「0」,真表示为数字「1」。那么这种新的扩展可以想象成从 0 到 1 之间的实数。两个实数间可以比较大小,我们便可以说明某个论题比另一个论题「更真」。此外,每个中间的实数,都说明了这一论题并非「完全正确」,也非「完全错误」。我们从二分法的简单世界中走了出来,一个更复杂的世界展现在面前!我们将这种赋值称为推理的「有效性」(validity)。

就小明迟到的推理来说,我们可以想象,前提中迟到的天数越多,有效性就应该越接近「1」。增加一些「无关的」前提,应当不会影响推理的有效性。比如「草是绿色的。」但究竟哪些断言是相关的,哪些是无关的?比如「今天小明因迟到被批评,而面红耳赤。」是一个相关的断言,还是一个无关的断言?我们可以看到,推理的有效性和做出判断的人对小明的了解有很大的关系。一个很了解小明的人,可能会做出更准确的判断;而对小明一无所知的读者而言,要么将其当作无关的断言,要么会根据自己过去的经验判断。

从中我们可以看出归纳推理的第三个特点,不一致性。同一个论题的有效性,和做出判断者的认知与思考相关。它又为我们引入了一层复杂性,即不同的人有不同的真相。演绎推理的正确性更像是本体论意义上的正确性,也就是无论是谁来进行判断,都会得出相同的结论。而归纳推理则涉及到了认识论。

啊哈!有些读者可能会说,这下我可以相信任何东西了。「我的真相」可以和「你的真相」不同,而且也不存在「唯一真相」这样的说法。因此如果我想相信任何东西,只需要把它当成「我的真相」就好了。

但这种相对主义(relativism)的想法不仅是错误的,而且还会造成危险。「假新闻」(fake news)或者「不实信息」(misinformation),从传统媒体时代就存在,到了现在的社交网络和自媒体时代,已经屡见不鲜了。以上论述的缺点在于,虽然不同人对同一论题的有效性观点不同,但并不是所有观点都可以等而视之的。某些观点有内在的错误性,任何理性个体都应该拒绝相信。

比如演绎推理中可以证明是错误的论题,就不应该得到任何人的相信。有些论题虽然并非在演绎推理的意义上完全错误,但也很接近了,因此同样应该被拒绝。特别地,无论每个人对论题的有效性判断如何,当接受了相同的新证据时,每个人的有效性判断应该更加与其他人接近。也就是说,在大量的证据面前,人们的有效性判断应趋于一致。如果面对证据也不改变信念,那么这个人就不是在遵循归纳原理。只是放弃了理性而已。

那么我们究竟应该以何种标准来衡量归纳推理证明的正确性呢?大卫·休谟(David Hume)指出,归纳推理的依据是「自然的规则性」(regularity of nature)。最简单的两种形式是,时间上的规则性和空间上的规则性。也就是说,过去发生的事情,未来也倾向于发生;这里发生的事情,那里也倾向于发生。

当我们加上隐含的前提:

从我出生至今,太阳都从东方升起。
从我出生至今一直都为真的断言,明天也为真。
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明天太阳会从东方升起。

某种程度上来说,它也具有了演绎推理的可靠性。当然此时我们就需要说明,为何隐含的前提是正确的。

自然的规则性,通常又被称为「归纳原则」(rule of induction)。下面列举一些常见的证明其有效性的论述。

时间归纳原则:

过去归纳原则是正确的。
(过去正确的论断,未来也正确。)
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未来归纳原则仍然是正确的。

空间归纳原则:

这里归纳原则是正确的。
(这里正确的论断,那里也正确。)
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那里归纳原则仍然是正确的。

一般来说,对性质 F 进行归纳的归纳原则,可以由下述论证说明:

A ⊆ F(x) 上归纳原则是正确的。
(A ⊆ F(x) 上正确的论断,B ⊆ F(x) \ A 上也正确。)
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B ⊆ F(x) \ A 上归纳原则仍然是正确的。

但请注意,以上的论证,本身也使用了归纳原则,因此只是循环论证,并没有提供正确性的任何说明。经过类似的考察,休谟发现,归纳原则的正确性是无法靠演绎得出的。因此,它只是一个「原则」,而非客观规律。它是人认知上的一个信念。人们可以选择不接受这一信念,同样可以做出很多思考。实际上很多传统哲学论述都不涉及到自然的规则性。

一个归纳原则的推论是所谓的泛化(generalization)。

时间上的泛化:

过去论题 p 是正确的。
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p 永远是正确的。

空间上的泛化:

这里论题 p 是正确的。
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p 在全世界都是正确的。

其一般形式如下:对性质 F 进行归纳,泛化性质 G 。

A ⊆ F(x), a ∈ A → G(a)
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F(x) → G(x)

换句话说,假如我们已经知道一部分具有性质 F 的个体,也具有性质 G 。对 F 进行归纳可以得出,所有具有性质 F 的个体,都具有性质 G 。

证明的方法是:

A ⊆ F(x), a ∈ A → G(a)
(A ⊆ F(x), a ∈ A → G(a)) → (b ∈ F(x) \ A → G(a)) (归纳原则)
A ∪ (F(x) \ A) = F(x)
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F(x) → G(x)

注意,其中我们使用了归纳原则,因此泛化的正确性取决于归纳推理的正确性。可能正确,也可能错误。中文将正确泛化称为「举一反三」,「见微知著」;而错误的泛化则称为「盲人摸象」,「管中窥豹」。

时间和空间上的归纳原则被普遍接受,也构成了现代实验科学的基础。但应用其他归纳原则时必须当心,因为它并非天然正确,我们仍需要首先为归纳说明的正确性做辩护。一种对归纳原则的错误应用,就是对「刻板印象」(stereotype)的证明。

我认识的女性都很文静。
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所有女性都很文静。

通过以上的分析,我们可以认识到,这一推理成立的条件是「文静」这一属性是否能对「女性」这一属性进行泛化,具体来说,是从「我认识的女性」,泛化到「所有的女性」。那么至少要说明,时间上,「从古至今的女性都可以由我认识的女性代表。」;空间上,「世界上任何位置的女性都可以由我认识的女性代表」。而要证明这两点几乎是不可能的。因此,我们可以得出,以上论述完全无效。

每个人能收集的个案都是有限的,而且收集的方法各式各样,具有很大偶然性,且无法重复。因此,从个案进行泛化到一个很广泛的论述,通常都是无效的。而很多情况下,这也是广泛论述的唯一论据,因此广泛的论述基本都很难论证

正是因为这些困难,科学哲学才不断提出各种实验方法,来增强结论的泛化能力。此外,任何科学论述都被置于很多条件之下,得出有限而具体的结论,同样可以起到增强泛化的作用。

即使是时间和空间上的泛化,也应注意,归纳推理只是表达了一种预言,而非因果。比如

过去女性没有同工同酬。
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明年女性不会同工同酬。

即使推理有效,也不能说明前提是结论的「原因」,更不能证明这一结果有何「正当性」,或者「无法改变」。

注意到上面对归纳推理的分析中,同样形式的论题,有些正确,有些错误。说明归纳推理是「内容相关」的,并且很大程度上,内容决定了有效性。

比如网上讨论经常被提起的「诉诸权威」谬误:

爱因斯坦支持和平主义。
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和平主义是正确的。

爱因斯坦支持相对论。
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相对论是正确的。

想要说明下面这一论题,我们得出,相对论是一个物理问题,因此要考虑爱因斯坦在物理问题上的权威。而上面的论题,则需要考虑爱因斯坦在政治哲学上的权威。

因此「诉诸权威」谬误并不是很多人想象的,「不要服从任何权威」,「每个人都有自己的真相」。而是指作出判断的人,本身不具有「相同领域」的权威。这一相同领域,保障了从「名声」到「论证正确性」上泛化的可靠性。

类似的还有「诉诸历史」谬误,应当关注所提的论题的时间性质如何,而非不考虑任何过去的证据;「诉诸道德」谬误,应该考虑这个人的道德问题和当下的论题的相关性,而非完全不考虑任何道德性的证据。

总而言之,许多「非形式谬误」,通常是对归纳原则和与之相关的泛化原则的误用。当我们在论述某一论题的有效性时,应当从内容方面,仔细检查使用了何种归纳原则,这种归纳原则是否适用。当不适用时,我们也可以进一步与对方讨论,为何无法使用归纳原则,而非简单地说这是某某谬误,表现得像是对方掉进了某种陷阱,从而失败了一样。

归纳推理不再像演绎推理一样,对世界进行二分,而将现实世界的复杂性展现在我们面前。既让我们避免了「非此即彼」、「非黑即白」的误区,也不至于让我们陷入「相对主义」的泥淖。

此外,对归纳原则的反思,可以让我们发现自己很多认为「理所当然」的概念,其实并没有天然的正确性。意识到这一点,才能让自己不再是传统的奴隶,而开始成为一个能够独立思考的个体。


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