高等概率論筆記（2）當我們談論概率（測度）時我們在談論什麼

在上一篇筆記中，我們談到了如何在隨機事件的“所有可能結果”（基本集）中建立起一套“輸贏分明”的合理遊戲規則（σ-域）. 在這篇筆記裏，我們將進一步考察各個不同的遊戲規則（σ-域）的特性.

仍然以擲色子遊戲爲例，我們先前提到過，我們在擲色子的基本集Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}上可以構建出很多個不同的“合理玩法”（σ-域），例如猜大小，猜六點等等. 但是我們能夠從直覺上感受到，不同的玩法之間是有區別的，如果猜大小和猜六點獲勝的獎金是一樣多的，似乎就有些奇怪. 我們可以通過比較以下四個玩法更仔細地推敲這種樸素的經驗的來源爲何：

1. 玩法1：F = {∅, Ω}，只要你敢來玩，就百分百無腦穩贏
2. 玩法2：F = {∅, {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, Ω}，猜大小
3. 玩法3：F = {∅, {1, 2, 3, 4, 5}, {6}, Ω}，猜六點
4. 玩法4：F = P(Ω)，P(Ω)代表着Ω的冪集（全體子集），可以理解爲玩家每輪擲出六個色子，每一種不同的色子組合都對應着不同的獎金。

我們可以考慮以下場景來感受這四種玩法的不同之処。假如澳門某線上賭場裏有四個賭桌，分別玩上述四種遊戲. 如果每輪過後，你並不知道你擲出的點數究竟爲何，只由荷官告訴你本輪的輸贏或獎金多少. 那麼在這四種玩法裏，荷官告知你的結果所包含的“信息量”有何不同呢？

顯然，在玩法1中，荷官告知你遊戲獲勝的結果信息量爲0，因爲既然擲出任何點數都會獲勝，那麼得知“勝”的結果對於幫助你猜測你到底擲出了幾點毫無幫助. 在玩法2和玩法3中，你可以通過勝負結果來猜出一部分信息：如果你猜小判勝，那麼說明你擲出的點數屬於{1, 2, 3}中的一個，如果你猜六判負，那麼說明擲出的點數屬於{1, 2, 3, 4, 5}. 而在玩法4中，你可以通過你得到的獎金獲得你所擲出的色子點數的完全信息.

由此可見，光引入一套“合理規則”（σ-域）對於開一家賭場是遠遠不夠的，我們還需要一種對“合理規則”內的各種結果進行“量化”（measure）的手段，使得我們能夠爲各種結果給出合理的獎金定價，否則你可以想象一個長期開有玩法1賭桌的賭場的破產速度會有多快.

用數學語言進行表述的話，我們期望建立其一個由σ-域F到實數集ℝ的映射 μ : F→ℝ，且該映射滿足以下三個條件：

1. 空集的映射爲0： μ(∅) = 0 
2. 非負性： 任何屬於F的元素都被映射到一個大於等於零的實數， ∀E∈F, μ(E) ≥ 0 
3. 可數可加性：若{Eₖ}为F中可数个两两不相交子集元素的集合，那麼這些子集的各自映射結果之和等於其並集的映射結果，∑ μ(Eᵢ) = μ(⋃Eᵢ) 

如果一個映射 μ滿足上述三個條件的話, 我們就稱之爲對集合F的測度（measure）. 一個能夠定義測度的基本集Ω以及它的σ-域F一同構成了一個可測空間 (Ω, F), 而如果再將映射 μ包含在內的話, 它們三個一起構成了一個測度空間(Ω, F, μ).

測度可以直觀地粗略理解爲對“長度/面積/體積”這些幾何概念的抽象推廣, 是一個集合“大小”的度量. 對於一個可數有限集合來說（例如擲色子的情形）, 最直接的測度定義方式爲計數測度, 顧名思義, 即是簡單地統計集合中的元素個數. 例如, 對於猜大小遊戲而言, 我們可以利用計數測度將映射 μ定義爲 μ: {∅, {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, Ω} → {0, 3, 3, 6}. 而猜六點遊戲則爲μ: {∅, {1, 2, 3, 4, 5}, {6}, Ω} → {0, 5, 1, 6}. 各個遊戲規則的區別就在測度上定量地體現了出來.

更進一步地, 如果我們再引入一條歸一化公理, 要求全集的測度μ(Ω) = 1的話, 那麼這時我們的測度μ就變成了概率測度. 猜大小遊戲的σ-域元素映射到實數集上的結果變成了{0, 0.5, 0.5, 1}, 而猜六點遊戲則變成了{0, 5/6, 1/6, 1}. 而這些數值則正是我們日常生活中所熟知的“勝率/概率”.

有心的讀者可能就會問, 我們爲什麼要花這麼大功夫發明這麼多拗口的概念來說明一個看似顯然的東西呢？爲什麼不直接用我們熟悉的古典定義，幾何定義，或者頻率定義：概率是樣本實驗中出現某一事件的出現頻率的極限呢？

這裏就體現出來抽象的力量了。通過測度概念的公理化引入，我們不需要利用通過古典定義和幾何定義兩套不相容的框架來分別處理離散和連續隨機事件的概率計算，只需要爲兩種情況選擇不同的測度即可（計數/Lebesgue測度）. 此外, 借助公理化的概率測度定義, 我們就能夠將實分析中的各種理論工具來一些無法通過頻率實驗來研究的概率問題, 例如“在[0, 1]間任取一點爲有理數的概率是多少?”.