穆朗

稍有常識的人

高等概率論筆記(1) 澳門首家(非)σ-域賭場上線啦

假如某日,你沒有經受住κiζsヤ性憾荷官恠線發牌シ的誘惑,手賤進了┲﹊懊門渞镓線よ賭場﹏☆。

〣.*這裏宥超過⑸百種電孞遊戲,栳んυ機,供γоυ魭個過癮

你作爲一個賭場小白,對於自己的水平並沒有信心。所以你決定不碰百家樂,炸金花,二十一點等看起來就很復雜的遊戲,就玩看起來最簡單的擲色子。你點進到第一桌玩“猜大小”,猜小,並成功擲出了一個2,贏了,頓時覺得自己發哥附體。

有了信心之後,你點進了下一個賭注更高的“猜6”遊戲,只有搖出6才能夠算贏。你不知道是不是今早上廁所沒洗手,鼠標一點,竟然真的就又擲出了一個6,又大賺一筆。

這時候你真的膨脹了,決定博一博,單車變摩託,便把之前贏的錢全部聚在一起,加入了一個寫着“猜大奇小偶(非σ-域)”的VIP房間。雖然你並搞不懂這遊戲到底是什麼東西,但是既然中行原油寶都有小散戶拿着幾十萬家底去買,玩玩這個能有多大不了的。進了VIP房間之後,你發現規則頁面上寫着一行難懂的數學公式

F = {∅, {輸:1, 2, 3}, {贏:2, 4, 6}, Ω}

看起來好像也和猜大小沒有多大區別嘛,你沒有多想,隨手一點,沒想到擲出了一個5點。

原圖:xkcd/292/

在費勁千幸萬苦制服不知道從哪跳出來的迅猛龍之後,你非常氣憤,於是就打着電話質問賭場客服爲什麼玩個遊戲還能冒出來個迅猛龍來咬我。但客服小姐姐雖然聲音好聽,回答卻充滿着各種難懂的術語,什麼“基本集”,“σ-域”,“Borel可測”之類的。你一邊痛罵這黑賭場,一邊決心努力學習相關知識,揭穿這騙人的把戲。

概率論:從入門到放棄

我們生活中經常遇到各種各樣的隨機事件,例如拋硬幣,擲色子,打殺人麻將等等。這些隨機事件的結果有很多,我們將這些隨機事件的所有可能結果所構成的集合稱爲基本集(fundamental set)Ω。

基本集Ω既可以是離散的,有限的,同時也可以是連續的,無限的; 爲了直觀起見,我們就在這裏以最簡單的離散-有限情形進行考察。一個具有離散有限基本集Ω的典型隨機事件就是擲色子,其所有可能點數所構成的基本集爲:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

在定義好基本集Ω之後,我們就可以進一步構建出更爲復雜的結構。

Ω既然作爲一個集合,那麼它自然就擁有各種子集,例如平凡的空集,全集(Ω本身)和非平凡的各個真子集({1},{1, 2},{1, 2, 3},.....)。如果我們把這些子集又看作一個個單獨的元素,那麼這些子集的不同組合就又構成了許許多多不同的集合,我們將這些集合稱爲基本集Ω子集簇

一個直觀的子集簇例子:當我們在玩猜色子大小的遊戲時,“大”和“小”其實就是“擲色子”這一隨機事件的“所有可能結果”的兩個子集:“小”={1, 2, 3},“大”={4, 5, 6},他們兩者{“大”,“小”}就共同構成了一個子集簇。

可以想見,哪怕對於擲色子這樣簡單的隨機事件而言,從它的基本集上能夠定義出的子集簇的數量實際上也是相當大的:首先Ω的子集就挺多,{1},{1, 2},{1, 3},{1, 2, 3}......更不用說再我們還要對這些子集進行各種組合了。不過,我們其實比較關心的是一類特別的子集簇F,它具有以下特點:

  1. 包含空集與全集
  2. 如果一個子集A屬於該子集簇F,那麼它的補集A^c同樣屬於F
  3. 如果一系列子集A1, A2, ..., An屬於子集簇F,那麼這一系列子集序列的並集 A1⋃A2⋃...⋃An同樣屬於F(可推廣到可數無窮的情形,不過我們這裏暫時跳過)

對於具有以上三個特點的子集簇,我們給予它一個特別的名字:σ-域(σ-field)或σ-代數(σ-algebra)。暫時放下對這個莫名其妙的名字的吐槽欲望,我們來看看在擲色子這個例子中我們可以構建出哪些σ-域。

不難想到,一個最平凡的σ-域例子當然就是由空集和全集所構成的子集簇 F = {∅, Ω},我們很容易驗證它滿足以上所有條件。另外一個特殊的σ-域是由Ω的所有可能子集所構成的集合 F = {∅, {1}, ..., {6}, {1, 2}, ...., {1, 2, 3} ...... , Ω},我們稱之爲Ω的冪集(Power set)。這兩個例子分別代表着從任何一個基本集Ω所能夠定義出的最小和最大的σ-域。

除了這兩個特殊情形外,如果給我們之前提到的“猜大小”遊戲的子集簇添加空集和全集,F = {∅, {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, Ω},那麼它同樣滿足σ-域的定義。類似的“猜奇偶” {∅, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, Ω},“猜六點” {∅, {1, 2, 3, 4, 5}, {6}, Ω},也都對應着一個滿足σ-域定義的子集簇。

相反,如果我們把“猜大小”和“猜奇偶”遊戲混在一起:F = {∅, {1, 2, 3}, {2, 4, 6}, Ω},這個子集簇就不是一個σ-域,因爲{1, 2, 3}的補集{4, 5, 6}並不是F的元素從而不滿足條件(2),而且{1, 2, 3}⋃{2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6} 也並不屬於F,從而不滿足條件(3)

那麼,引入σ-域這個看似天外飛仙的概念的動機究竟是什麼呢?

我們可以從開頭的澳門線上賭場奇幻漂流來理解。在這家賭場裏,“猜大小”,“猜六點”乃至“猜奇偶”都是良定義(well-defined)的賭局:你投注賭局的話,輸贏分明 {小:1, 2, 3},{大:4, 5, 6};你選擇不投注只觀戰的話,那麼擲出來多少點對你來說都無所謂 {Ω: 1, 2, 3, 4, 5, 6},甚至你還可以根本不參與()。相反,在那個VIP房的遊戲裏,一切就變得很可疑了:當你擲出5的時候,結果是跳出一只迅猛龍來咬你還是一塊隕石撞擊你家電腦呢?

因此我們可以看出,如果說我們想要用色子來設計一個遊戲,那麼我們除了需要弄清色子所能提供的“所有可能結果” {Ω: 1, 2, 3, 4, 5, 6}外,還需要約定好遊戲規則(什麼算贏?什麼算輸?什麼算平局?)才能開始玩。這些形形色色的遊戲規則,有的講理(輸贏分明),有的則不講理。我們認爲滿足先前提到的三個條件的遊戲規則是“合理的”,並給了他們一個特別的名字,σ-域。


CC BY-NC-ND 2.0

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