共有知識 — 淺談協議定理與無交易定理

知識在經濟學中一直位居要角。舉例來說，效率市場假說中不同強度的效率能將不同程度的私有資訊轉為不同程度的獲利，又或者可以看到，個體經濟學中最常遇到的「道德風險」（ Moral Hazzard ）和「逆選擇」（ Adverse Selection ）都與擁有的知識程度有關。1974 年諾貝爾經濟學獎得主海耶克（ Friedrich A. Hayek ） 1945 年在 AEA 上發表了一篇名為 “ The Use of Knowledge in Society ” 的文章，在其中就強調了價格在傳遞知識上的優勢。簡而言之，價格能將知識「去中心化」的傳遞到社會每個角落，這些資訊能進一步幫助人們用最有效率的方式運用資源。這篇文章要討論的則是一種在經濟學中比較特別，但至關重要的知識：共有知識。

共有知識(Common Knowledge): 你與我都知道某件事，而且你我都知道你我知道某件事。不止如此，你我甚至還知道你我知道你我知道某件事，而「知道」循環會無窮無盡的延伸下去。

1. 藍眼睛難題

除了看了頭很痛外，你可能立即有了個疑問，為什麼要那麼多層的「知道」？你我都知道不就好了嗎？為了在此強調共有知識的無限「知道」循環的威力，我們就在這裡搬出一個經典的邏輯題 — 藍眼睛難題。

有 2 個藍眼睛的人不幸遇難，漂流到一座孤島上，這座孤島上有一個原始聚落，裡面全部人的眼睛都是綠色的。而島上只有一艘船在每天早上會開一班船到文明世界，但這艘船的船長個性非常 GY，他出了一個難題：「告訴我你們自己眼睛的顏色，答對了我再帶你們走。」

但他設定了一個重要的規則：不准跟任何人談到和眼睛顏色有關的話題。

一聽之下兩個人都愣住了。他們從來沒想過要仔細看自己眼睛的顏色，而現在遇難的他們哪來的鏡子看自己的眼睛顏色？

此時船長給了他們兩條線索：

• 這座島上只有藍眼睛和綠眼睛的人。
• 上至少有一個人的眼睛是藍色的。

問題來了，這兩個人有沒有辦法離開呢？有辦法的話，會在第幾天離開呢？

（有志挑戰的讀者可以想想再往下滑）

答案揭曉：聰明的兩人會一起在第二天早上離開。

為什麼呢？這一切取決於相互知識（ Mutual Knowledge ）和共有知識（ Common Knowledge ）的重大差別。在船長說出第二句話前，兩個藍眼睛的人都知道島上至少有一個人的眼睛是藍色的，但他們並不知道對方知道，經濟學上稱呼這種知識為「相互知識」。另一方面，在船長說出關鍵的線索後，這個知識就成為了「共有知識」。想想如果這句話還只是相互知識，即使你知道對方的顏色是藍色的，無論過了多少天你也無法藉由另一個人的行動來推知自己眼睛的顏色。但當你知道對方也知道有「至少一個人的眼睛是藍色的」，那假使自己的眼睛是綠色的，對方應該會直接在第一天的早上就搭船離開吧？（既然島上都是綠眼睛的，那自己必定是藍眼睛的人）對方沒有這麼做的原因,，想必是他看到了某一個人的眼睛是藍色的，既然如此，就只剩下自己的眼睛顏色是藍色這一種可能性了。從對方的角度來看也是如此，因此兩人會同時在第二天早上向船長說出正確答案，一同離開這座奇怪的孤島。

2. 協議定理（ Aumann’s Agreement Theorem ）

共有知識的定義中對於「知道」某件事的條件下了很強的限制，在這種限制之下我們可以得到許多有趣的定理。 我們先將定理本身暫且擱置，用一個例子（有電影雷） 來了解協議定理的「協議」 是什麼？

在 2009 月球漫遊（ Moon ） 這部電影之中，主角以複製人的身份甦醒，保有一套「完全相同」的記憶和生活體驗。如果今天有兩個複製人一起醒來，並各自過了不同的一天，突然對某項工作該怎麼做產生了不同的意見。理性的他們開始互相傾吐，把兩個人一天中所更新的資訊都轉為共有知識，藉此釐清了對於這項工作的頭緒。問題來了，在更新完後他們還有可能看法不一致嗎？

協議定理告訴你，在經濟學的世界裡，他們的看法在交流完後必定是一致的。

2005 年的諾貝爾經濟學獎得主，以色列經濟學家 Robert Aumann 在他 1976 年的論文 “Agreeing to Disagree” 中首度的使用嚴謹數學語言定義共有知識，並在同一篇論文中提出了協議定理。一言以敝之，兩個握有完全相同資訊的理性人在各自有不同的事後（ Ex-Post ）經歷後，只要將彼此的經歷轉為共有知識，就必定會在看法上達成「協議」。

3. 你們同意彼此的不同意?

協議定理: 假設兩個理性的人在某個情況 ω 下對於某個事件 E 發生的可能性分別為 q_i 和 q_j，且這件事和知識結構為兩人的共有知識，那麼 q_i = q_j。

看了敘述不知道在講什麼嗎？讓我們避開共有知識的數學定義和繁雜的集合論語言，試試看用簡單的例子來解釋其中的邏輯。

假設 A 和 B 正準備買運彩，並想要知道勇士今年奪冠的機率。他們都想猜得越準越好，於是他們分享了所有已知的情報，因此在今天早上兩個人都認為機率是 50%。 兩人約好各自出去搜集情報後下午再回來下注，但是經過一天的波折後他們各自找到了不同的情報後回來，從而更新了各自的機率。碰面的他們說出了不一樣的機率，這讓他們對於該不該下勇士贏球感到更徬徨了。於是兩人只好開始交流彼此的情報。

舉例來說，碰面時 A 覺得勇士奪冠機率是 70 %，但 B 覺得是 20 %。 這時作為理性的人兩人如果將彼此的知識成為共有知識，對方所報岀的的機率應該會藏有一些自己原先不了解的事。交流後 A 或許會發現 B 回報的 20 % 將 KD 上場的可能性給排除了，而這是 A 原本不確定的資訊。因此 A 將勇士的奪冠機率下調。 同樣的 B 也會推理，A 認為的 70 % 或許隱含了糗爺開示，於是 B 跟著上調機率。此時注意到，因為共有知識有無限層的關係，即使這層更新後機率仍然不同也無礙於兩人持續更新機率。最終在這樣不停地一來一往更新機率之下，協議定理證明出理性的兩人對於這個事件發生的機率（看法）必定會趨於一致。

4. 不可能一致？So what?

乍看之下你或許會問，這有什麼好稀奇的？更新資訊使得看法達成一致蠻合理的啊！更重要的是，這是個振奮人心的消息，畢竟對於事件的看法不同常常引發很多的紛爭，經濟學（或該說數學？）告訴你，只要兩人都是理性的，且兩人願意將彼此的看法開誠布公地轉為共有知識，兩人對於一個事件的看法必定會是一樣的。因此下次在餐廳（或是家裡客廳）聽到跟你某些立場相左的言論後，只要相信著你和他都是理性的，你就可以走上前去好好的與那個人交流看法，也許你們會因此更新彼此的看法，從而得出兩人都滿意的結果來。（但還是三思而後行，出事作者概不負責）

但從經濟學的角度，這其實也是一個有點詭異的結論。畢竟過去經濟學的重要支柱之一就是人是理性的，但我們同時也會在市場上看到許多看法相左的投資人進行交易來對賭彼此的資訊。另外一個例子，許多金融機構中的分析師，明明使用公司的電腦獲得一樣的資訊，每天晨會也都把彼此所知轉換為共有知識，卻還是會寫出天差地遠的股價報告。因此我們的觀察告訴我們，理性的人應該會在某種程度上有辦法達成意見不一致才對。

進一步地說，許多現代經濟學的研究都是以賽局為模型，但在白經濟所刊出的一則文章 NBA 轉隊疑雲：共有知識與 Email 遊戲 中所介紹的，共有知識是納許均衡成立的重要假設之一。同時，如道德危機和逆選擇等問題都建立於資訊不對稱（ Information Assymetry ）上。如果在賽局的架構下討論這些問題，理性的人在共有知識下看法又必定一致，那麼資訊究竟要在哪裡不對稱呢？

這個定理啟發了許多對於經濟學、哲學和電腦科學的研究，而在經濟學中，其中一個就是財務經濟學中最著名的定理之一 — 無交易定理（ No-Trade Theorem ）。這個定理由經濟學家 Paul Milgrom 和 Nancy Stokey 在他們 1982 年的論文 “ Information, Trade and Common Knowledge ” 所提出，並且從此之後就為現代財務經濟學立下了一個嚴峻的挑戰。

5. To Trade or Not to Trade？

在協議定理中，我們強調了理性的人會互相推估對方的資訊從而更新自己的資訊，最終達到平衡，無交易定理也提出雷同的概念。

以經濟學的語言來說，無交易定理告訴我們，如果初始的市場狀態已經達成 Pareto Efficiency，且市場上的人對於市場中的知識是一致的，更重要的是如果「交易」這個動作是共有知識，那麼即使今天你突然持有某個私有資訊，這個資訊可以讓你在現在的市場價格下獲得交易利潤，交易也不會發生。

現在讓我們用與協議定理相似的邏輯來了解無交易定理背後的直覺。想像一下一位理性投資人 Kuo 身處在一個完美的市場中，所有人對於自己持有的部位都非常滿意，也因為日夜的辛勤研究而對市場本身有 “一樣充足” 的了解。某天在路上媽祖突然顯靈對 Kuo 說：「買 A 股票會發大財！」深信不疑的 Kuo 立刻拿起手機準備要下 A 股票的單。但這時她突然有了一個疑問：「如果我買，那誰要賣？大家應該都對自己持有的部位很滿意才對啊！」

聰明的 Kuo 想了一下發現一個嚴重的問題，如果有人願意賣給他，代表賣的人看到了 A 股票的利空。既然交易作為共有知識，任何一個人都會在看到交易時合理推測出有人正握有特別的資訊。因此除了 Kuo 推測賣的人有利空消息外，賣的人也會推測想買 A 股票的人知道 A 股票會發大財。「交易」這個行為作為共有知識，在市場上每一個理性的人眼中就必定蘊含著一些私有資訊。這樣來來去去的推理後，Kuo 會發現，即使媽祖托夢給他，買賣 A 股票要嘛沒賺頭，要嘛根本沒人要接手，於是就把手機收起來了。

無交易定理問世後丟出了一些有趣的理論性問題，像是：在理性預期的假設下，既然不會有交易，那資訊該如何反應在價格上？（效率市場假說 QQ ）另一方面，既然持有資訊沒辦法獲利，那到處做研究報告的金融從業人員又在幹嘛呢？（商管學院 QQ ）這些問題在財務金融的研究上影響甚鉅，許多財務經濟學家都在找不同的模型，讓交易能夠在理性預期的假設下發生。有接觸過金融產品訂價相關理論的人可能或多或少都會在現代財務金融論文中看到一個重要假設：市場上必須要有一個統稱為流動性交易人（ Liquidity Trader ）的角色，他扮演的角色就是基於某種外生給定的衝擊，可能是單純的很渴想買杯水喝但窮得只剩下股票，而必須在市場上買或賣股票將其兌換成現金。這個角色的存在的主要目的就是為了解決無交易定理所提出 — 沒人願意買或賣 — 的難題。

6. 結語

知識相關的研究在不同領域中不勝枚舉，而這篇著重的則是其中比較理論性的問題。介紹這樣的理論最核心的目的僅只是讓對經濟學有興趣的人接觸其中比較技術性的語言，再多打什麼結語似乎都會對理論本身做過度的詮釋，作為基礎理論，它們當然與現實有部分脫節，但它仍然是經濟學討論中存在的框架之一。在此也推薦有興趣的讀者，進一步的閱讀底下參考資料以便了解更深入的內容。

1. Friedrich August von Hayek, “The Use of Knowledge in Society, ”American Economic Review, XXXV, №4; September, 1945, pp. 519–30
2. Wikipedia, Common Knowledge (logic)
3. R. Aumann, Agreeing to Disagree, Ann. Statist. 4 (1976), pp.1236 1239
4. G. Bonanno and K. Nehring, Agreeing to Disagree: A Survey, UC Davis(1997)
5. Talkecon, NBA 轉隊疑雲：共有知識與 Email 遊戲
6. P. Milgrom and N. Stokey, Information, Trade and Common Knowledge, Journal of Economic Theory 26. (1982) pp.17 27